Du har sikkert hørt reglen

"Minus minus giver plus."

mange, mange gange.

Reglen dækker over følgende tre regneregler: \[ \begin{align} -(-a) &= a\\ a-(-b) &= a+b\\ (-a)\cdot (-b) &= a\cdot b \end{align} \]

Vi skal her forsøge at besvare spørgsmålet “hvorfor gælder reglerne”. Undervejs ser vi også på “spillereglerne”, når regneregler skal forklares.

Den ultrakorte forklaring er, at reglerne er konsekvenser af nogle “grundregneregler” for tallene. De grundantagelser vi har om tallene kaldes aksiomer. Disse antagelser skal ikke bevises. Aksiomerne giver i første omgang at der findes to tal 0 (nul) og 1 (et) med specielle egenskaber. Derudover er regler for addition (plus) og multiplikation (gange). Grundregnereglerne er meget simple. Det svære er altså ikke at forstå grundregnereglerne, men derimod at gennemskue, hvordan de kan bruges til at bevise mere komplicerede regler (uden snyde ved at komme til at bruge en regel, man ikke har bevist).

I gymnasiet har du set, at tallene deles op i flere typer. \[\begin{alignat}{2} ℕ, & \textrm{ de } \textit{ naturlige\ tal} && \quad 1, 2, 3, \ldots \\ ℤ, & \textrm{ de } \textit{ hele\ tal} && \quad 0, ±1, ±2, ±3, \ldots \\ ℚ, & \textrm{ de } \textit{ rationale\ tal} && \quad \textrm{ alle broeker }\frac{p}{q}, \textrm{ hvor } p \textrm{ og } q \textrm{ er hele tal og }q≠0 \\ ℝ, & \textrm{ de } \textit{ reelle\ tal} && \quad \textrm{ alle uendelige decimalbroeker} \\ \end{alignat} \] Historisk har man gradvis udvidet talbegrebet, når man er stødt på problemer, der ikke kunne løses med de allerede kendte tal.

De forskellige typer har det tilfælles, at de alle har to regneoperationer addition (\(+\)) og multiplikation (\(\cdot \)). De to regneoperationer opfylder derudover en række regneregler, som også er fælles for alle taltyperne. I stedet for at have en meget lang liste af regneregler har man besluttet at lave en kort liste af grundregneregler, som gælder for alle talområder. Man kan så bruge grundregnereglerne til at bevise mere komplicerede regneregler - og disse kommer så til at gælde for alle talområderne på en gang. Der findes flere talområder end dem, vi har listet ovenfor.

De naturlige tal ℕ er et talområde, men er ikke en ring (og derfor heller ikke et legeme). En ring skal nemlig indeholde et nul, men det mangler i de naturlige tal.

De hele tal ℤ er et eksempel på et talområde som også er en ring. For at være en ring skal der nemlig være et nul-element - og alle tallene skal have et modsat tal. Det opfylder ℤ. Til gengæld er ℤ ikke et legeme. Tallet 2 har for eksempel den reciprokke \(\frac{1}{2}\), men da \(\frac{1}{2}\) ikke er et helt tal er den reciprokke ikke med i ℤ.

Talområderne \(ℚ\) og ℝ er begge legemer. Her har alle tal pånær 0 nemlig en reciprok (og de øvrige regler er også opfyldt).

De kommutative love for addition og multiplikation. For alle tal \(a\) og \(b\) gælder: \(\quad a+b=b+a\) For alle tal \(a\) og \(b\) gælder: \(\quad a\cdot b=b\cdot a\)

De associative love for addition og multiplikation. For alle tal \(a\), \(b\) og \(c\) gælder: \(\quad (a+b)+c=a+(b+c)\) For alle tal \(a\), \(b\) og \(c\) gælder: \(\quad (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\)

Den distributive lov. For alle tal \(a\), \(b\) og \(c\) gælder: \(\quad a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\) For alle tal \(a\), \(b\) og \(c\) gælder: \(\quad (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c\)

Vi begynder med den første regneregel: \[-(-a) = a \] Minustegnene i denne regneregel er fortegnsminusser.

For at kunne forklare denne regnereglen skal vi have styr på, hvad fortegnsminusset betyder. Den relevante regel er:

Vi har her valgt bogstavet \(m\), for \(m\) er det modsatte tal af \(a\). For ethvert tal \(a\) findes et tal \(m\) med egenskaben: \(a + m = 0.\)

Hvis \(a\) for eksempel er tallet 3, så er \(m\) tallet -3, for \(3+(-3)=0\).

I reglen står kun, at der findes mindst et tal \(b\) med egenskaben \(a+b=0\).
Er der i vores eksempel andre muligheder end \(m=-3\)?

Forestil dig, at der findes et tal \(a\) og to tal \(m_1\) og \(m_2\) med: \[a+m_1 = 0 \quad \textrm{ og } \quad a+m_2=0 \] Så gælder: Her bruges den associative lov. \[m_1 = m_1+0 = m_1+(a+m_2) = (m_1+a)+m_2 = 0+m_2 = m_2 \] Der findes altså et og kun et tal, der lagt til \(a\) giver 0.

Vi lader nu \(-a\) (udtalt “minus a”) være det entydige tal, som lagt \(a\) til giver 0.

For ethvert tal \(a\) findes et og kun et tal \(-a\) med egenskaben: \[a + (-a) = 0. \]

Hvilken egenskab har tallet \(-(-a)\) så?

Det må være det tal som man kan lægge til \(-a\) for at få 0. \[-a + (-(-a)) = 0 \] Men vi ved ved jo, at \[-a + a = a + (-a) = 0, \] så både \(a\) og \(-(-a))\) kan lægges til \(-a\) for at få nul. Men da der kun findes et sådant tal, må \(-(-a)\) og \(a\) være samme tal. Konklusionen er altså, at: \[-(-a) = a \]

I den næste regneregel \[a-(-b) = a+b \] er der to forskellige minustegn. Det første minustegn er et fratrækningsminus og minusset i parentesen er et fortegnsminus. For at kunne bevise reglen skal vi først se på, hvad fratrækningsminusset betyder.

Vi kan nu regne på \(a-(-b)\). \[a-(-b) = a + (-(-b)) = a + b \] Det første lighedstegn skyldes betydningen af fratrækningsminusset. Det andet lighedstegn skyldes vores allerede beviste regel om fortegnsminusser.

Vi er nu klar til at se på regnereglen: \[(-a)\cdot (-b) = a\cdot b \] De to minusser er begge fortegnsminusser. Det vi ved om tallene \(-a\) og \(-b\) er: \[a+(-a)=0 \quad \textrm{ og } \quad b+(-b)=0 \] Vi skal derfor på en eller anden måde bruge disse ligninger for at komme frem til hvad \((-a)\cdot (-b)\) giver. Vi får ideen at gange \((-b)\) på den første ligning, for så dukker \((-a)\cdot (-b)\) op. Dernæst bruges aksiom 5 (den distributive lov) til at gange ind i parentesen. I udregningerne bruges et aksiom ad gangen. \[ \begin{align} a+(-a) &= 0\\ (a+(-a))\cdot (-b) &= 0\cdot (-b)\\ (a+(-a))\cdot (-b) &= 0\\ a\cdot (-b)+(-a)\cdot (-b) &= 0 \end{align} \] Vi ser, at \((-a)\cdot (-b)\) er det tal, der skal lægges til \(a\cdot (-b)\) for at give 0, så: \[-(a\cdot (-b)) = (-a)\cdot (-b) \] For at komme videre skal vi vide noget om \(a\cdot (-b)\). Derfor ganger vi nu \(a\) på den anden ligning. I udregningerne bruges en grundregel ad gangen. \[ \begin{align} b+(-b) &= 0\\ a\cdot (b+(-b)) &= a\cdot 0\\ a\cdot (b+(-b)) &= 0\\ a\cdot b + a\cdot (-b) &= 0 \end{align} \] Vi ser, at \(a\cdot (-b)\) er det tal, der lagt til \(a\cdot b\) giver 0. Det vil sige: \[-(a\cdot b) = a\cdot (-b) \]

Vi har så: \[(-a)\cdot (-b) = -(a\cdot (-b)) = -( -(a\cdot b) ) = a\cdot b \] Hvis du går tilbage og tjekker udregningerne, vil du se, at vi kun har brugt reglerne for ringe. Vores minus-minus-regler gælder altså for alle ringe. Reglerne gælder altså for både ℤ, ℚ og ℝ. Men reglen gælder ikke for de naturlige tal ℕ. Kan du se, hvorfor reglerne ikke fungerer for ℕ?

I dette afsnit skal undersøge den reciprokke for et tal \(a\). Du skal altså arbejde med legemer. I et legeme har man reglen: For alle tal \(a≠0\) findes et tal \(r\), så \(a\cdot r=1\). Tallet \(r\) skrives \(\frac{1}{a}\) eller \(a^{-1}\) kaldes den reciprokke af tallet \(a\).

Din første udfordring er at bevise, at tallet \(r\) er entydigt.

Det vil sige, antag der findes et tal \(a≠0\) og to tal \(r_1\) og \(r_2\) så: \[a\cdot r_1 \quad \textrm{ og } \quad a\cdot r_2=1 \] Problemet er så at finde mellemregningerne i udregningen: \[r_1 = \ldots = r_2 \] Tallet \(r\) kaldes den reciprokke af \(a\).

Din anden udfordring er at bevise, at \[\frac{1}{\left(\frac{1}{a}\right)} = a \] for alle tal \(a≠0\).

I videoen "Negative × Negative = Positive in 5 Levels -- Elementary to Math Major" vises denne udregning: \[ \begin{align} (-a)\cdot (-b) &= (-a)\cdot (-b) + a \cdot (0)\\ &= (-a)\cdot (-b) + a \cdot (-b+b)\\ &= (-a)\cdot (-b) + a\cdot (-b) + a\cdot b\\ &= (-b)\cdot (-a+a) + a\cdot b\\ &= (-b)\cdot (0) + a\cdot b\\ &= a\cdot b \end{align} \] Umiddelbart ser det kort ud, men der er brugt mere end en grundantagelse per omskrivning.

Udfordringen består i at indsætte mellemregninger, så der kun bruges et aksiom per omskrivning.

Kan du gennemskue, hvordan man har fået ideen til omskrivningen?